Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual. Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
MEDIA ARITMÉTICA DE DATOS AGRUPADOS X =
n
Donde:
X designa la media aritmética.
X es el valor central, o punto medio, de cada clase.
f frecuencia de cada clase.
fX frecuencia en cada clase multiplicada por el punto medio de ésta.
n número total de frecuencias.
Para encontrar el punto medio de una clase específica, se suman los límites superior e inferior de la clase y el resultado lo dividimos entre dos.
Continuamos con el proceso de multiplicar el punto medio de la clase por la frecuencia para cada clase y después se suman estos productos.
La media de datos agrupados en una distribución de frecuencias puede ser diferente de la de datos reales. La agrupación resulta en alguna pérdida de información.
Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media. xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada. xi fi
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
- Media
- Mediana
- Moda
- Cuartiles
- Deciles
- Percentiles
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
MEDIA ARITMÉTICA DE DATOS AGRUPADOS X =
n
Donde:
X designa la media aritmética.
X es el valor central, o punto medio, de cada clase.
f frecuencia de cada clase.
fX frecuencia en cada clase multiplicada por el punto medio de ésta.
n número total de frecuencias.
Para encontrar el punto medio de una clase específica, se suman los límites superior e inferior de la clase y el resultado lo dividimos entre dos.
Continuamos con el proceso de multiplicar el punto medio de la clase por la frecuencia para cada clase y después se suman estos productos.
La media de datos agrupados en una distribución de frecuencias puede ser diferente de la de datos reales. La agrupación resulta en alguna pérdida de información.
Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media. xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada. xi fi
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
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