PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS.

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Probabilides, Algunas Definiciones

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

 Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
 E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
 ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
 E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

 Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
 2. Obtener un número primo y par B = {2}
 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B  C =

Eventos Complementarios.- Si A  B =  y A  B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y
Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:
 P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

 A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

 Se deduce de la definición lo siguiente:
 0  P(A)  1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0%  P(A)  100% en porcentaje.
P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón
 FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

 Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

CONVERTIR TANTO POR CIENTO A DECIMALES Y VICEVERSA.

Se debe recordar siempre que un por ciento significa un centésimo. Lo dice la palabra misma: por ciento es por cien, se está comparando con cien: si 15% de la populación son ancianos, significa que 15 personas de cada cien son ancianos.

1% es un centésimo ó 0.01 4% es cuatro centésimos ó 0.04 12% es doce centésimos ó 0.12 89% es 89 centésimos ó 0.89 100% es cien centésimos ó 1 145% es 145 centésimos ó 1.45

Convertir un número decimal en tanto por ciento

Si tiene un número decimal, sólo se observa cuántos centésimos tiene. segunda cifra después del punto significa las centésimos.

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

siendo:
 un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.
 un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez. Los números se escriben como un producto: a · 10k, (siendo a un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y k un número entero). Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes. 0 = 1 1 = 10 2 = 100 3 = 1 000 4 = 10 000 5 = 100 000 6 = 1 000 000 9 = 1 000 000 000 10 = 10 000 000 000 20 = 100 000 000 000 000 000 000 30 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 –n es igual a 1/10n o equivalentemente a 0, (n–1 ceros) 1: –1 = 1/10 = 0,1 –3 = 1/1000 = 0,001 –9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001 29, y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2,34·10–11.

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6·10

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo.

Ejemplo:

238294360000 = 2,3829436E11 y 0,000312459 = 3,12459E-4.

26m y la masa de un protón es ~1,67·10-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente).

Ejemplo:

2·10

4 + 3·104 = 5·104

Para sumar y restar dos números (o más) debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando los correspondientes exponentes hasta que todos sean iguales.

Ejemplo:

2·10

0.2·10

4 + 3·105 - 6·103 (tomamos el exponente 5 como referencia) 5 + 3·105 - 0.06·105

3.14·10

5

Multiplicación

Se multiplican los coeficientes y se suman a la vez los exponentes.

Ejemplo:

(4·10

5)· (2·107) = 8·1012

División

Se dividen las mantisas y se restan los exponentes (numerador-denominador).

Ejemplo:

(4·10

12)/ (2·105) =2·107

Además se pueden pasar los dos números al mismo exponente y luego nada más multiplicar.

Potenciación

Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes.

Ejemplo:

(3·10

6)2 = 9·1012

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplos:

Usos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA INFERENCIAL.

La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial.

Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales, es decir, únicamente los adquiere, los recopila y los organiza.

Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. La estadística inferencial simplemente es el procedimiento por medio del cual se llega a las inferencias acerca de una población base en los resultados obtenidos de una muestra extraída de la población, es decir, la Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una toma de muestra.

VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS.

En líneas anteriores se ha señalado que el objeto de estudio de la Estadística son las poblaciones y que estas están formadas por entes o elementos. El número total de los mismos determina el tamaño de la población. Para estudiar una población, lo primero que debe hacerse es observarla de alguna de las formas que ya se ha señalado en las líneas anteriores. Pero observar una población es equivalente a observar sus elementos. Ahora bien, esos elementos poseen una serie de características que son las que realmente se observan. Por ejemplo, el conjunto de todas las empresas industriales radicadas en España constituyen una población. Los elementos de esa población son las empresas. Pero una empresa no se observa en abstracto. Lo que realmente tiene interés son las distintas características de esas empresas, como, por ejemplo, el número de empleados, el volumen de ventas, los costos salariales, los gastos en publicidad, los beneficios de las mismas, la naturaleza de los productos que fabrican, etc.

X

Los atributos no pueden medirse como ocurre con las variables. Lo único que puede hacerse con ellos es describirlos mediante palabras y clasificarlos en categorías no numéricas que sean mutuamente excluyentes. A cada una de

estas categorías se le denomina modalidades. Un ejemplo es el que se recoge en la Tabla 3.

En algunos casos, las modalidades de un atributo pueden ser objeto de ordenación, como se aprecia en la tabla 4.

= (X1, X2,...... Xn)

A todas estas características de los elementos de una población se les conoce de forma genérica como caracteres. Estos últimos, según su naturaleza, pueden ser de tipo cuantitativo o cualitativo. Para el ejemplo anterior, serían caracteres cuantitativos "el número de empleados", "el volumen de ventas", "los costos salariales", "los gastos en publicidad", "los beneficios de las mismas", etc., mientras que sería cualitativo "la naturaleza de los productos que fabrican". Hay que señalar que, en general, cualquier carácter de tipo cuantitativo se puede ofrecer en términos cualitativos. Así, si el número de empleados lo agrupamos en intervalos, se podría hablar de empresas pequeñas, medinas y grandes, siendo ahora el carácter "tamaño de la empresa" de naturaleza cualitativa. De manera similar se podría proceder con los demás. Pero en estadística es más habitual hablar de variables que de caracteres cuantitativos y de atributos en lugar de caracteres cualitativos. Las variables son susceptibles de medirse en términos cuantitativos y a cada una de esas posibles mediciones o realizaciones se les conoce como valores, datos u observaciones.

A su vez, en función del número posible de valores que tome una variable, a las mismas se les puede clasificar en discretas y continuas. Serán discretas cuando el número de valores sea finito o infinito numerable, mientras que una variable será continua cuando el número de sus valores sea infinito no numerable. En los casos en los que las variables toman infinitos valores, la práctica habitual es agruparlos en intervalos, como se muestra en las Tabla 1, para variable continua, y en la Tabla 2 para discreta.

Variable discreta, es aquella que entre dos valores próximos puede tomar a un número finito de valores, es decir, es aquella que contiene saltos entre un número y otro (1, 2, 3, 4, etc.), por ejemplo: el número de miembros de una familia, el de obreros de una fábrica, el de alumnos de la universidad, etc.

Variable continúa, es la que puede tomar infinitos valores de un intervalo, es decir, es aquella que no contiene saltos (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, etc.) En muchas ocasiones la diferencia es más teórica que práctica, ya que los aparatos de medida dificultan que puedan existir todos los valores del intervalo. Ejemplos, peso, estatura, distancias, etc.

La variable se denota por las mayúsculas de letras finales del alfabeto castellano. A su vez cada una de estas variables puede tomar distintos valores, colocando un subíndice, que indica el orden.

FUENTE DE DATOS.

En los apartados anteriores se ha señalado que el objetivo de la Estadística es el estudio de los fenómenos de masas. Pero ello requiere el manejo de una información numérica amplia. La cuestión inmediata que surge es saber a dónde se puede recurrir para encontrar esa información necesaria y sin la cual el análisis estadístico no se puede realizar. En definitiva, se trata de conocer las fuentes que suministran información de carácter estadístico. Estas fuentes son susceptibles de clasificarse según distintos criterios. Atendiendo al agente que elabore esa información, la misma puede agruparse en endógena y exógena. La primera sería la que elabora el propio investigador. En este caso, la operación estadística conducente a recabar los datos necesarios para la realización del análisis estadístico se supone que la lleva a cabo el propio investigador. Será quien se encargue de observar los distintos caracteres, cuantitativos o cualitativos, relevantes de los elementos de una población. El resultado será una base de datos, obtenida mediante una muestra, o cualquiera de los otros procedimientos indicados con anterioridad, que permitirá el correspondiente análisis estadístico.

Esta situación se da cuando no existe fuente alternativa exógena capaz de facilitar esa información. Pero ¿qué se entiende por fuente exógena? En general, la podemos definir como aquella cuyo objeto principal es la obtención de información estadística pero que no actúa como usuaria, es decir, no es elaborada por el propio investigador.

Las fuentes exógenas son múltiples y a su vez se clasifican en dos categorías distintas. Por un lado están las fuentes oficiales o públicas, en el caso de México, un ejemplo claro es el INEGI (Instituto Nacional de Estadística y Geografía) y, por otro, las privadas (consultorias). De todas ellas las que generan mayor volumen de información son las primeras, es decir, las oficiales o públicas. Estas últimas se pueden clasificar, de acuerdo al ámbito espacial en que desarrollan sus competencias en materia estadística.

LA ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN.

El método estadístico consiste en una serie de procedimientos para el manejo de los datos cualitativos y cuantitativos de la investigación.
 Dicho manejo de datos tiene por propósito la comprobación, en una parte de la realidad de una o varias consecuencias verticales deducidas de la hipótesis general de la investigación.
 Las características que adoptan los procedimientos propios del método estadístico dependen del diseño de investigación seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable en cuestión.
 El método estadístico tiene las siguientes etapas:
 Recolección (medición)
 Recuento (computo)
 Presentación
 Descripción
 Análisis

Errores Estadísticos Comunes

Al momento de recopilar los datos que serán procesados es susceptible cometer errores así como durante los cómputos de los mismos. No obstante, hay otros errores que no tienen que ver con la digitación y que no son tan fácilmente identificables.

Algunos de estos errores son:

• Sesgo

: Es imposible ser completamente objetivo o no tener ideas preconcebidas antes de comenzar a estudiar un problema, y existen muchas maneras en que una perspectiva o estado mental pueda influir en la recopilación y en el análisis de la información. En estos casos se dice que hay un sesgo cuando el individuo da mayor peso a los datos que apoyan su opinión que a aquellos que la contradicen. Un caso extremo de sesgo sería la situación donde primero se toma una decisión y después se utiliza el análisis estadístico para justificar la decisión ya tomada.

Datos no comparables

: el establecer comparaciones es una de las partes más importantes del análisis estadístico, pero es extremadamente importante que tales comparaciones se hagan entre datos que sean comparables. Proyección descuidada de tendencias: la proyección simplista de tendencias pasadas hacia el futuro es uno de los errores que más ha desacreditado el uso del análisis estadístico.

Muestreo Incorrecto

: en la mayoría de los estudios sucede que el volumen de información disponible es tan inmenso que se hace necesario estudiar muestras, para derivar conclusiones acerca de la población a que pertenece la muestra. Si la muestra se selecciona correctamente, tendrá básicamente las mismas propiedades que la población de la cual fue extraída; pero si el muestreo se realiza incorrectamente, entonces puede suceder que los resultados no signifiquen nada.

POBLACIÓN Y MUESTRA

En Estadística se denomina población al mundo ideal, teórico cuyas características se quieren conocer y estudiar. Las poblaciones suelen ser muy extensas y es imposible observar a cada componente, por ello se trabaja con muestras o subconjuntos de esa población. Por eso podemos definir como muestra a una parte o subconjunto de una población.

Por ejemplo, queremos conocer la opinión de los habitantes de una ciudad de 200.000 personas junto a la que se va a instalar un depósito de residuos tóxicos. Los ciudadanos mayores de 18 años de dicha localidad conformarían la población objeto de análisis. Como sería costoso en tiempo y recursos el preguntar a cada ciudadano, cuyo número puede ascender a muchas decenas de miles de personas, lo que se hace es seleccionar una muestra de unas decenas o unos cientos de personas de esa población y realizar la encuesta a sus componentes. Para seleccionar la muestra y que sea representativa existen métodos adecuados.

Población: El concepto de población en estadística va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.

Muestra

Se llama muestra a una parte de la población a estudiar qué sirve para representarla". Murria R. Spiegel (1991).

"Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos". Levin & Rubin (1996).

"Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la población en referencia", Cadenas (1974).

La condición más obvia que se le puede pedir a una muestra es que sea representativa de la población. Está claro que si no conocemos la población no podemos saber si la muestra es representativa o no. La única forma de tener cierta garantía de que esto ocurra es tomar nuestra muestra de forma que cada individuo de la población y cada subgrupo posible de la población tengan igual probabilidad de ser elegidos. A este tipo de muestras se les llama muestras aleatorias o muestras al azar.

Una muestra aleatoria de tamaño n es un conjunto de n individuos tomado de tal manera que cada subconjunto de tamaño n de la población tenga la misma probabilidad de ser elegido como muestra; es decir, si la población tiene tamaño N, cada una de las combinaciones posibles de n elementos debe ser equiprobable.

El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa; cuesta menos y lleva menos tiempo. Por último, se aprobó que el examen de una población entera todavía permita la aceptación de elementos

defectuosos, por tanto, en algunos casos, el muestreo puede elevar el nivel de calidad.

Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia, muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.

Los sistemas de muestreo se basan normalmente en la asignación de un número a cada uno de los individuos de la población y la posterior obtención de una muestra de n números aleatorios que se obtendrá por sorteo utilizando bolas numeradas, ordenadores, etc.

: La muestra es un conjunto o subconjunto representativo, seleccionado de una población, pero para que quede más claro el concepto, a continuación se enuncia el concepto de muestra de diferentes autores:

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común". Cadenas (1974).

Una población en estadística es el conjunto de todas las observaciones en las que estamos interesados, o bien, es el conjunto de todos los procesos suceptibles de aparecer en un problema y que interesan a la persona que hace el estudio. Se llama tamaño de la población al número de individuos que la componen, siendo cada posible observación un individuo; así pues, las poblaciones pueden ser finitas e infinitas, en el caso de la segunda cabe mencionar que sólo existe en la teoría, ya que en la práctica no se encuentra la aplicación de elementos infinitos.

Cada observación en una población es un valor de una variable aleatoria X con una función de probabilidad o densidad determinada f(x). Normalmente, se denomina a las poblaciones con el nombre de la distribución de la variable; es decir, hablaremos de poblaciones normales, binomiales, etc.

Para estudiar una población existen dos posibilidades. Una de ellas consiste en estudiar todos sus elementos y sacar conclusiones; la otra consiste en estudiar sólo una parte de ellos, elegidos de tal forma que nos digan algo sobre la totalidad de las observaciones de la población. El mejor método resulta ser el primero, cuando es posible, lo cual sólo ocurre en las poblaciones finitas y razonablemente pequeñas; en el caso de poblaciones muy grandes o infinitas será muy difícil o imposible realizar un estudio total. En este caso necesitaremos tomar una muestra y nos surgirá el problema de cómo hacer para que la muestra nos diga algo sobre el conjunto de la población.

Es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos, sobre todos si estos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo llamada muestra.

ESTIMADORES Y PARÁMETROS.

En una población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa.

Un  estimador  es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, la proporción observada en la muestra es un estimador de la proporción en la población.

Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos. Recordemos que la distribución muestral indica la distribución de los valores que tomará el estimador al seleccionar distintas muestras de la población. Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media que indica el valor promedio del estimador y la desviación típica, también denominada error típico de estimación, que indica la desviación promedio que podemos esperar entre el estimador y el valor del parámetro.

Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano.

Llamamos  Intervalo de confianza al intervalo que con un cierto nivel de confianza, contiene al parámetro que se está estimando.

Nivel de confianza es la "probabilidad" de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por  1-a y habitualmente se da en porcentaje (1-a)100%. Hablamos de nivel de confianza y no de probabilidad ya que una vez extraída la muestra, el intervalo de confianza contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el (1-a)% de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro.

Los dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadística son el "Problema de la estimación" y el "Problema del contraste de hipótesis". Cuando se conoce la forma funcional de la función de distribución que sigue la variable aleatoria objeto de estudio y sólo tenemos que estimar los parámetros que la determinan, estamos en un problema de inferencia estadística paramétrica; por el contrario, cuando no se conoce la forma funcional de la distribución que sigue la variable aleatoria objeto de estudio, estamos ante un problema de inferencia estadística no paramétrica. Nosotros nos vamos a limitar a problemas de inferencia estadística paramétrica, donde la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal, y sólo se estimarán los parámetros que la determinan, la media y la desviación típica.

Estadístico

: Son los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros.

Parámetro

Se llama parámetros poblacionales a cantidades que se obtienen a partir de las observaciones de la variable y sus probabilidades y que determinan perfectamente la distribución de esta, así como las características de la población, por ejemplo: La media, μ, la varianza σ

Los Parámetros poblacionales son números reales, constantes y únicos.

: Son las medidas o datos que se obtienen de la población, es decir, simplemente es el valor poblacional de las características de una población. 2, la proporción de determinados sucesos, P.

Parámetros muéstrales

Los Parámetros muéstrales son resúmenes de la información de la muestra que nos "determinan" la estructura de la muestra. Los Parámetros muéstrales no son constantes sino variables aleatorias pues sus valores dependen de la

estructura de la muestra que no es siempre la misma como consecuencia del muestreo aleatorio. A estas variables se les suele llamar estadísticos.

Los estadísticos se transforman en dos tipos: estadísticos de centralidad y estadísticos de dispersión.

MUESTREO PROBABILÍSTICO Y NO PROBABILÍSTICO

Muestreo

En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población), se selecciona una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de la población.

El muestreo es por lo tanto una herramienta de la investigación científica, cuya función básica es determinar que parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población.

La muestra debe lograr una representación adecuada de la población, en la que se reproduzca de la mejor manera los rasgos esenciales de dicha población que son importantes para la investigación. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población, es decir, ejemplificar las características de ésta.

Los errores más comunes que se pueden cometer son:

1)

Hacer conclusiones muy generales a partir de la observación de sólo una parte de la Población, se denomina error de muestreo.

2)

Hacer conclusiones hacia una Población mucho más grandes de la que originalmente se tomó la muestra.

Error de Inferencia

En la estadística se usa la palabra población para referirse no sólo a personas si no a todos los elementos que han sido escogidos para su estudio y el término muestra se usa para describir una porción escogida de la población.

Tipos de Muestreo

Existen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos.

I. Muestreo probabilístico

Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Sólo estos métodos de muestreo probabilísticos nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más recomendables.

.

II. Métodos de muestreo no probabilísticos

A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones (estimaciones inferenciales sobre la población), pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos por lo que puede traer como consecuencia proporcionar información errónea En general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando, en la medida de lo posible, que la muestra sea representativa, pero en este tipo de muestreo la selección de la muestra no es aleatoria, sino que se basa en el juicio del entrevistador o del responsables de la investigación, además no se basa en ninguna teoría de probabilidad, por lo tanto no es posible calcular la precisión o bien ocultar los posibles errores cometidos.

En algunas circunstancias los métodos estadísticos y epidemiológicos permiten resolver los problemas de representatividad aun en situaciones de muestreo no

probabilístico, por ejemplo los estudios de caso-control, donde los casos no son seleccionados aleatoriamente de la población.

Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados en investigación encontramos:

1) Muestreo por cuotas

En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.

: También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad l.

2) Muestreo intencional o de conveniencia

También puede ser que el investigador seleccione directa e intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento es utilizar como muestra los individuos a los que

se tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).

3) Bola de nieve

: Se localiza algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.

4) Muestreo Discrecional

: A criterio del investigador los elementos son elegidos sobre lo que él cree que pueden aportar al estudio.

: Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos, las muestras se seleccionan según el criterio de accesibilidad o comodidad Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto, también se emplea en lugares como centros comerciales, plazas, estaciones de autobuses, tren, metro, sobre todo que tienen gran afluencia pública, ya que se obtiene así un gran número de cuestionarios de forma rápida y económica.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE.

 Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. Para obtener una muestra aleatoria simple, cada elemento en la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, el plan de muestreo puede no conducir a una muestra aleatoria simple. Por conveniencia, este método pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios. Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemático, estratificado y de conglomerados.

Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. La selección de la muestra puede realizarse a través de cualquier mecanismo probabilístico en el que todos los elementos tengan las mismas opciones de salir. Por ejemplo uno de estos mecanismos es utilizar una tabla de números aleatorios, o también con un ordenador generar números aleatorios, comprendidos entre cero y uno, y multiplicarlos por el tamaño de la población, este es el que vamos a utilizar.
El procedimiento empleado es el siguiente:

1) Se asigna un número a cada individuo de la población. 2)

Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad práctica cuando la población que estamos manejando es muy grande. Muestreo aleatorio sistemático Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,..., i+(n-1) k, es decir, se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k.
El riesgo de este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población, ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población. Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los dos sexos. Tamaño de muestra A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra, hay que tomar en cuenta varios factores, como son, el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello, antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo de tamaño de muestra delimitaremos estos factores.
Para calcular el tamaño de una muestra se necesitan los siguientes factores: 1. El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos de muestra hacia la población total. 2. El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. 3.
La confianza o el porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100%, equivale a decir que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica estudiar a la totalidad de los casos de la población. Para evitar un costo muy alto, para el estudio, o debido a que en ocasiones llega a ser prácticamente imposible el estudio de todos los
casos, entonces se busca un porcentaje de confianza menor. Comúnmente en las investigaciones sociales se busca un 95%.
El error o porcentaje de error equivale a elegir una probabilidad de aceptar una hipótesis que sea falsa como si fuera verdadera, o a la inversa, rechazar la hipótesis verdadera por considerarla falsa. Al igual que en el caso de confianza, si se quiere eliminar el riesgo de error y considerando como 0% entonces, la muestra es del mimo tamaño que la población, por lo que conviene correr con cierto riesgo de equivocarse.
Comúnmente se acepta entre 4% y 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error.
NOTA. Para verificar los niveles de confianza será necesario utilizar la siguiente tabla:

NIVEL DE CONFIANZA	99.7 %	99%	98%	96%	95.45%	95%	90%	80%	68.27%	50%
Z	3.00	2.58	2.33	2.05	2.00	1.96	1.645	1.28	1.00	0.6745

Para estimar el tamaño de muestra necesario para realizar una investigación se debe de aplicar la siguiente fórmula:

Donde:
n= Tamaño de la muestra,
z= Nivel de confianza, 2,58 para el 99%
p= Variabilidad positiva
q= 1- p Variabilidad negativa
B o e = Precisión o error admitido
Ejemplo:
Supóngase que por estudios anteriores, se tiene conocimiento de que la proporción de deportistas entre los estudiantes de una universidad es del 0.65. Se pregunta ¿Qué tamaño deberá tomarse la muestra si se quiere que el error no exceda un 15% y un grado de confianza del 99%?
Solución:
Tomemos en cuenta que se sabe que la proporciones de estudiantes que practica un deporte en esa universidad es del 0.65, se puede utilizar este valor como una estimación de la proporción verdadera, en cuyo caso nos apoyaremos de la fórmula anterior para calcular el tamaño de la muestra.
n= Tamaño de la muestra,
z= 99% = 2.58
p= 0.65
q= 1- 0.65= 0.35
B o e = 0.15

Sustituyendo, tendremos:
n = (2.58)
Esto quiere decir que la muestra será de 67.
(0.15)
En caso de conocer el tamaño de la población, cuando la variable crítica es dicotómica o binomial, para la estimación de proporciones poblacionales o universos considerados finitos, entonces el tamaño de la muestra se determinará con la siguiente fórmula:
n=( z)2. N ( p) .( q)/(e)2.N+(z)2.(p).(q) ésta fórmula se usa para N > 30 .
Donde:
n= Tamaño de la muestra,
z= Nivel de confianza, 2,58 para el 99%
p= Variabilidad positiva
q= 1- p Variabilidad negativa
B o e = Precisión o error admitido
N = Tamaño de la población
 
 n =z2. N .p.q/e2.(N-1)+(z2.p.q) ésta fórmula se usa para N < 30.2 (0.65) (0.35) = (6.6564) (0.2275) = 1.14331 = 67.3036 2                                  0.0225                        0.0225 El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. A través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios generadas con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

MUESTREO ESTRATIFICADO.

Para obtener una muestra aleatoria estratificada, primero se divide la población en grupos, llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos de la muestra son entonces seleccionados al azar o por un método sistemático de cada estrato. Las estimaciones de la población, basadas en la muestra estratificada, usualmente tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si la población entera muestreada mediante muestreo aleatorio simple. El número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser proporcional o desproporcional al tamaño del estrato en relación con la población.

La dificultad de este muestreo es la dificultad de decidir a que estrato se asigna cada uno de los elementos de la población. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población. (Tamaño geográfico, sexos, edades,...).

Afijación Simple

: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales.

Afijación Proporcional

　

: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato.

Afijación Óptima

: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.

La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:

MUESTREO POR CONGLOMERADOS.

Para obtener una muestra de conglomerados, primero dividir la población en grupos que son convenientes para el muestreo. En seguida, seleccionar una porción de los grupos al azar o por un método sistemático. Finalmente, tomar todos los elementos o parte de ellos al azar o por un método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra. Bajo este método, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto la muestra es aleatoria.
 Una muestra de conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral (por lo tanto, da menor precisión de las estimaciones acerca de la población) que una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. Los elementos individuales dentro de cada "conglomerado" tienden usualmente a ser iguales. Por ejemplo la gente rica puede vivir en el mismo barrio, mientras que la gente pobre puede vivir en otra área. No todas las áreas son muestreadas en un muestreo de áreas. La variación entre los elementos obtenidos de las áreas seleccionadas es, por lo tanto, frecuentemente mayor que la obtenida si la población entera es muestreada mediante muestreo aleatorio simple. Esta debilidad puede reducida cuando se incrementa el tamaño de la muestra de área.
 El incremento del tamaño de la muestra puede fácilmente ser hecho en muestra muestra de área. Los entrevistadores no tienen que caminar demasiado lejos en una pequeña área para entrevistar más familias. Por lo tanto, una muestra grande de área puede ser obtenida dentro de un corto período de tiempo y a bajo costo.
 Por otra parte, una muestra de conglomerados puede producir la misma precisión en la estimación que una muestra aleatoria simple, si la variación de los elementos individuales dentro de cada conglomerado es tan grande como la de la población.

OTROS DISEÑOS Y PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO: JUICIO Y CONVENIENCIA .

Muestreo de juicio

Una muestra es llamada muestra de juicio cuando sus elementos son seleccionados mediante juicio personal. La persona que selecciona los elementos de la muestra, usualmente es un experto en la medida dada, ya que descuerdo a su criterio busca las unidades más representativas. Una muestra de juicio es llamada una muestra probabilística, puesto que este método está basado en los puntos de vista subjetivos de una persona y la teoría de la probabilidad no puede ser empleada para medir el error de muestreo. Las principales ventajas de una muestra de juicio son la facilidad de obtenerla y que el costo usualmente es bajo. Este tipo de muestreo se ocupa cuando el tamaño de la muestra es pequeña.

Muestreo por conveniencia

Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población, incluso la muestra se selecciona según el criterio de accesibilidad y comodidad Para obtener una muestra aleatoria simple, cada elemento en la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, el plan de muestreo puede no conducir a una muestra aleatoria simple. Por conveniencia, este método pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios.

Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es infinita, por lo tanto, numerar cada elemento de la población es imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemáticos, estratificados y de conglomerados.

ERROR DE MUESTREO Y DE LA MUESTRA.

El error de la muestra es la diferencia entre el resultado obtenido de una muestra estadística y el resultado que deberíamos haber obtenido de la población, el error de la muestra es medido por el error estadístico y el error de muestreo es el que aparece cuando usualmente no se lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para estimar las características de la población.
Nos encontramos que al momento de recopilar los datos que serán procesados es susceptible cometer errores, así como durante los cómputos de los mismos. No obstante, hay otros errores que no tienen nada que ver con la digitación y que no son tan fácilmente identificables,
Algunos de estos errores son:

• Sesgo

: Es imposible ser completamente objetivo o no tener ideas preconcebidas antes de comenzar a estudiar un problema, y existen muchas maneras en que una perspectiva o estado mental pueda influir en la recopilación y en el análisis de la información. En estos casos se dice que hay un sesgo, cuando el individuo da mayor peso a los datos que apoyan su opinión en comparación de aquellos que la contradicen. Un caso extremo de sesgo sería la situación donde primero se toma una decisión y después se utiliza el análisis estadístico para justificar la decisión ya tomada.

Datos no comparables

: el establecer comparaciones es una de las partes más importantes del análisis estadístico, pero es extremadamente importante que tales comparaciones se hagan entre datos que sean comparables.

Proyección descuidada de tendencias

: la proyección simplista de tendencias pasadas hacia el futuro es uno de los errores que más ha desacreditado el uso del análisis estadístico. Muestreo Incorrecto: en la mayoría de los estudios sucede que el volumen de información disponible es tan inmenso que se hace necesario estudiar muestras, para derivar conclusiones acerca de la población a que pertenece la muestra. Si la muestra se selecciona correctamente, tendrá básicamente las mismas propiedades que la población de la cual fue extraída; pero si el muestreo se realiza incorrectamente, entonces puede suceder que los resultados no signifiquen nada.  

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS: DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS.

Una técnica de recuento y ordenación de datos la constituye los diagramas de Tallos y Hojas. Un diagrama donde cada valor de datos es dividido en una "hoja" (normalmente el último dígito) y un "tallo" (los otros dígitos). Por ejemplo "31" sería dividido en "3" (tallo/ decena) y "1" (hoja/ unidad). Podemos comparar, mediante estos diagramas, dos distribuciones. Supongamos una segunda distribución. 35 38 32 28 30 29 27 19 48 40
39 24 24 34 26 41 29 48 28 22



Los valores del "tallo" se escriben hacia abajo (vertical) y los valores "hoja" van a la derecha (horizontal) del los valores tallo. El "tallo" es usado para agrupar los puntajes y cada "hoja" indica los puntajes individuales dentro de cada grupo.
Ejemplo:

Supongamos la siguiente distribución de frecuencias, que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas y que vamos a representar mediante un diagrama de Tallos y Hojas:
 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31
 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40
Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4.
Los expertos dirán que dicha representación es un histograma y, en efecto, así es. Los diagramas de Tallos y Hojas además de ser fáciles de elaborar, presentan más información que los histogramas, como veremos más adelante.
Existe también el diagrama de doble tallo o tronco y hojas. En esta gráfica duplicamos el número de posiciones del tronco dividiendo por la mitad el intervalo que cubre a cada decena.
Con los mismos datos estableceremos el diagrama doble tallo y hoja:

Tallo	Hojas
2	0 3 4 4 4
2	5 9
3	1 1 3 4
3	6 6 7 9 9
4	0 0 1
4	5

ESCALAS DE MEDICIÓN: NOMINAL, ORDINAL, DE INTERVALO Y DE RAZÓN.

Para realizar un correcto análisis de los datos es fundamental conocer de antemano el tipo de medida de la variable, ya que para cada una de ellas se utilizan diferentes estadísticos. La clasificación más convencional de las escalas de medida se divide en cuatro grupos denominados Nominal, Ordinal, Intervalo y Razón. 1. Nominal Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría distintiva que no implican un orden específico o identifican un grupo de pertenencia Este tipo de variables sólo nos permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad entre los elementos de la variable. La asignación de los valores se realiza en forma aleatoria por lo que NO cuenta con un orden lógico. Un ejemplo de este tipo de variables es el Género ya que nosotros podemos asignarles un valor a los (A) hombres y otro diferente a las mujeres (B) y por más machistas o feministas que seamos no podríamos establecer que uno es mayor que el otro. O Bien se clasificará a una muestra de personas de acuerdo a la religión que profesan: (1) Cristianos, (2) Judíos, (3) Musulmanes, (4) Otros y (5) Sin creencia alguna.

                                                                      a                      b

2. Ordinal Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría o identifican un grupo de pertenencia contando con un orden lógico. Este tipo de variables
nos permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad y a su vez, podemos identificar si una categoría es mayor o menor que otra. La medición ordinal permite ordenar los eventos en función de mayor o menor posesión de un atributo o característica. Un ejemplo de variable ordinal es el nivel de educación, ya que se puede establecer que una persona con título de Postgrado tiene un nivel de educación superior al de una persona con título de bachiller. En las variables ordinales no se puede determinar la distancia entre sus categorías, ya que no es cuantificable o medible.

3. Intervalo Son variables numéricas cuyos valores representan magnitudes y la distancia entre los números de su escala es igual. Con este tipo de variables podemos realizar comparaciones de igualdad/desigualdad, establecer un orden dentro de sus valores y medir la distancia existente entre cada valor de la escala, sobre todo es aplicable a las variables continuas debido a que la multiplicación y la división no son realizables. Un ejemplo de este tipo de variables es la temperatura, ya que podemos decir que la distancia entre 10 y 12 grados es la misma que la existente entre 15 y 17 grados. Lo que no podemos establecer es que una temperatura de 10 grados equivale a la mitad de una temperatura de 20 grados.

4. Razón Las variables de razón poseen las mismas características de las variables de intervalo, con la diferencia que cuentan con un cero absoluto; es decir, el valor cero (0) representa la ausencia total de medida, por lo que se puede realizar cualquier operación Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación y División) y Lógica (Comparación y ordenamiento). Este tipo de variables permiten el nivel más alto de medición, además que determinan la distancia exacta entre los intervalos de una categoría Las variables altura, peso, distancia o el salario, son algunos ejemplos de este tipo de escala de medida.
Debido a la similitud existente entre las escalas de intervalo y de razón, el Stadistic Program Social System (SPSS) las ha reunido en un nuevo tipo de medida exclusivo del programa, al cual denomina Escala. Las variables de escala son para SPSS todas aquellas variables cuyos valores representan magnitudes, ya sea que cuenten con un cero (0) absoluto o no. Teniendo esto en cuenta discutiremos a continuación los diferentes procedimientos estadísticos que se pueden utilizar de acuerdo al tipo de medida de cada variable.

No todos los procedimientos estadísticos son realmente útiles para la totalidad de los niveles de medida. Cada uno de los tipos de medida posee ciertas características, las cuales debemos tener en cuenta en el momento de realizar un análisis descriptivo. En la tabla encontrarás algunos de los procedimientos que resultan ventajosos en los análisis descriptivos de los diferentes niveles de medida. Es necesario aclarar que esta tabla es sólo una muestra de las medidas que se pueden emplear; en algunos textos de estadística aparecen tablas más amplias y detalladas de los procedimientos.
Tabla de frecuencia para variables discretas y continuas